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Fakultät für Mathematik Universität Regensburg
Die folgenden Informationen sind noch nicht freigegeben und deshalb unverbindlich:

Das Yamabe-Problem/The Yamabe problem
Semester
SoSe 2018

Lecturer
Bernd Ammann

Type of course (Veranstaltungsart)
Vorlesung

Contents
For English informations we refer to the web page of the lecture.

Das Yamabe-Problem ist das folgende: Gegeben sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit einer fixierten konformen Klasse. Zu finden ist eine Metrik in dieser konformen Klasse mit konstanter Skalar-Krümmung. Das Problem reduziert sich auf eine elliptische partielle Differentialgleichung vom Typ Δ u + h u = λ up.

Derartige Differentialgleichungen sind im linearen Fall (p=1) gut verstanden, ebenfalls, wenn p nicht zu groß wird. Im Yamabe-Problem hat der Exponent p aber gerade den Wert, bei dem sich die analytischen Methoden ändern.

Das Ziel der Vorlesung ist es, zu erklären, wie dieses Problem von Schoen und Yau in den 80er-Jahren gelöst wurde.

Die Vorlesung beginnt mit einer kurzen Einführung in benötigte Hilfsmittel aus der Geometrie und aus den partiellen Differentialgleichungen. Wir wandeln das Problem dann in eine partielle Differentialgleichung obigen Typs um und lösen dann die obige Gleichung unter Annahme der "Yamabe-Ungleichung".

Um die Yamabe-Ungleichung zu zeigen, benötigt man letztendlich den Satz von der positiven Masse (Schoen/Yau) aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Man assoziiert hierbei gutartigen asymptotisch flachen Räumen (Modelle für Sterne, schwarze Löcher oder sonstige Materie-Ansammlungen) eine Gesamtmasse und zeigt deren Positivität.

Die Vorlesung wird in wesentlichen Teilen recht ähnlich wie das unten verlinkte Skript von C. Bär aufgebaut sein.

Mehr Details werden auf der Homepage gegeben.

Literature

  • Skript von Christian Bär, Geometrische Analysis, Link siehe Homepage der Vorlesung
  • Lee, Parker, The Yamabe problem, Bull. AMS 17 (1987), Seite 37 ff


Recommended previous knowledge
Eigentlich wird nicht mehr als Analysis I-IV und Lineare Algebra I und II und etwas Funktionalanalysis benötigt. Benötigte Hilfsmittel aus Differentialgeometrie und partiellen Differentialgleichungen werden in den ersten 4-5 Wochen erklärt. Um Studierenden im 3. Bachelor-Jahr oder 1. Master-Jahr den Einstieg zu erleichtern, bieten wir Hilfe im Rahmen einer Zentralübung, die im ersten Teil des Semesters stattfindet.

Mehr Details werden noch auf der Homepage gegeben.

Time/Date
Mo 14-16, Fr 12-14, Exercises Tuesday 16-18

Location
Mo: M101, Fr: M103, Exercises: M101

Additional question session
Time/Date: Wednesday 16-18
Location: M103

Course homepage
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/ammann/lehre/2018s_yamabe
(Disclaimer: Dieser Link wurde automatisch erzeugt und ist evtl. extern)

Registration

  • Registration for the exercise classes: There will be a paper list in the first lecture
  • Registration for course work/examination/ECTS: FlexNow
Course work (Studienleistungen)
  • Successful participation in the exercise classes: . 50% der Punkte, einmal zufriedenstellend
    vorrechnen
  • Oral examination (without grade): Duration: 30 minutes, Date: by arrangement
Examination (Prüfungsleistungen)
  • Oral exam: Duration: 30 minutes, Date: by arrangement, re-exam: Date: by arrangement
Regelungen bei Studienbeginn vor WS 2015 / 16
  • Benotet:
    • O. g. Studienleistung und o. g. Prüfungsleistung; die Note ergibt sich aus der Prüfungsleistung
  • Unbenotet:
    • O. g. Studienleistung
Modules
BV, MV, MGAGeo, MAngAn

ECTS
9
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