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Fakultät für Mathematik Universität Regensburg
Die folgenden Informationen sind noch nicht freigegeben und deshalb unverbindlich:

Eine Einführung in die Algebraische K-Theorie / An introduction
to Algebraic K-Theory
Semester
WiSe 2021 / 22

Lecturer
Florian Strunk

Type of course (Veranstaltungsart)
Seminar

German title (for LSF/EXA)
Eine Einführung in die Algebraische K-Theorie

Contents

In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der algebraischen K-Theorie. Algebraische K-Theorie beschreibt gewisse Eigenschaften eines Ringes oder, genauer gesagt, von Moduln über einem Ring. Konkret werden wir zu jedem Ring A die K-theoretischen Gruppen K0(A), K1(A) studieren und einige ihrer Anwendungen in der Zahlentheorie und Topologie diskutieren. Wenn genug Zeit bleibt und Interesse besteht, werden wir Am Ende des Seminars noch etwas zu den „höheren K-Gruppen“ sagen.

Grob gesprochen beschreibt die Gruppe K0(A), wie weit Untermoduln von freien Moduln über A davon entfernt sind, selber wieder frei zu sein. Die Gruppe K1(A) beschreibt, wie gut der Gauß-Algorithmus über A funktioniert. In diesem Sinn kann man das Seminar auch als eine Art „Fortsetzung“ der Linearen Algebra Vorlesungen verstehen. Interessant an der Algebraischen K-Theorie sind außerdem die Verbindugen zu vielen anderen Gebieten der Mathematik wie zum Beispiel der Topologie, der Homotopietheorie und der algebraischen Geometrie: Viele tiefe Vermutungen in diesen Gebieten kann man mit Hilfe der K-Theorie formulieren. Überraschenderweise gibt es auch viele unbeantwortete „elementare“ K-theoretische Fragen, also Fragen, die sie nach dem Besuch dieses Seminars verstehen und sich vielleicht an dem Finden einer Antwort versuchen können. Es besteht die Möglichkeit, eine auf diesem Seminar aufbauende Bachelorarbeit zu schreiben.

Bei Interesse, kann das gesamte Seminar auch online via zoom stattfinden, worüber wir in der ersten Woche des Wintersemesters reden können.

Your own talk can be held in German or English.

Vorbesprechung
Aufgrund der Corona-Situation ist es schwierig eine „physische Vorbesprechung“ in diesem Sommersemester zu machen. Daher schlage ich vor, dass ich mindestens die ersten beiden Vorträge vor dem Wintersemesterbeginn per Email vergebe (bei Interesse bitte unter florian.strunk@ur.de melden!) und wir uns zum ersten Mal planmässig und physisch am 20. Oktober 2021 zu der üblichen Seminarzeit im üblichen Seminarraum (s.u.) treffen, um die weiteren Vorträge zu verteilen.

(Erste) Vorträge (Änderungen möglich)
1. Projektive Moduln
2. Milnor Quadrate und Milnor Patching
3. K0 von Ringen
4. Liftung von Idempotenten und Nil-Invarianz von K0
5. Der Satz von Swan und die Verbindung zur Topologie
6. K1 von Ringen und Whitehead's Lemma
7. K1 von lokalen Ringen und Bass stable range
8. Relatives K1 und eine Mayer-Vietoris-Sequenz
9. Das Fundamentaltheorem für K1 und K0
10. Negative K-Theorie und deren Fundamentaltheorem
11. Die "Erweiterung" der Mayer-Vietoris-Sequenz nach rechts und Beispiele
...

Literature
J. Rosenberg - Algebraic K-Theory and Its Applications
C. Weibel - The K-Book: An Introduction to Algebraic K-Theory


Recommended previous knowledge
A certain knowledge of Linear Algebra and Commutaive Algebra is helpful but not absolutely necessary.

Time/Date
Mi 14-16 Uhr

Location
M 102 oder virtuell

Course homepage
tba
(Disclaimer: Dieser Link wurde automatisch erzeugt und ist evtl. extern)

Registration
  • Organisational meeting/distribution of topics: tba
  • Registration for course work/examination/ECTS: FlexNow
Course work (Studienleistungen)
  • Presentation: Giving a seminar talk of roughly 90 minutes
Examination (Prüfungsleistungen)
  • Detailed written report of the seminar talk
Modules
BSem, MSem

ECTS
4,5 LP bei Studienbeginn ab WS 15/16, 6 LP bei Studienbeginn vor WS 15/16. +++ Details: siehe
Modulkatalog +++
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