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Fakultät für Mathematik Universität Regensburg
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Algebraic Geometry I
Semester
WiSe 2021 / 22

Lecturer
Florian Strunk

Type of course (Veranstaltungsart)
Vorlesung

German title (for LSF/EXA)
Algebraische Geometrie I

Contents

Deutsche Beschreibung

In dieser Vorlesung werden wir die Grundlagen der Algebraischen Geometrie behandeln. Algebraische Geometrie untersucht die Nullstellenmengen von Systemen von Polynomgleichungen. Polynomgleichungen spielen fast überall in der Mathematik eine wesentliche Rolle und werden schon seit Jahrthunderten erforscht. Über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen haben die Nullstellenmengen dieser Gleichungen eine offensichtliche geometrische Interpretation. Somit lassen sich algebraische Eigenschaften und das geometrische Bild miteinander vergleichen und nicht nur Vorteile der einen Sichtweise für Beweise in der anderen benutzen sondern oft auch Methoden der Algebraischen Topologie oder der Differentialtopologie auf algebraische Probleme anwenden. Ihre besondere Stärke entfaltet die Algebraische Geometrie aber, wenn man Lösungen von Polynomgleichungen über anderen Ringen wie zum Beispiel dem Ring der ganzen Zahlen untersucht: Obwohl diese Nullstellenmengen keine direkte geometrische Beschreibung haben, lassen sie sich trotzdem einem geometrischen Objekt, einem "Schema" - einer Art algebraischer Mannigfaltigkeit - zuordnen, das geometrisch untersucht werden kann.

Eine Polynomgleichung, die beispielsweise in der Zahlentheorie in der letzten Jahrzehnten besondere Aufmerksamkeit erfahren hat, ist die Fermatsche Gleichung x^n+y^n=z^n. Der Beweis von Fermats letztem Satz durch Wiles und Taylor benutzt grundlegend die Methoden der Algebraischen Geometrie.

Der Inhalt dieser Vorlesung wird eine Einführung in die Theorie der Schemata sein. Hierbei werden wir uns im Wesentlichen an der Standardliteratur zu diesem Gebiet orientieren. Es wird allerdings auch ein ausführliches Skript zu dieser Veranstaltung geben.

Short English summary

This course offers a first introduction to Algebraic Geometry. Using the modern language of schemes, we will build up the basic vocabulary necessary for all students who plan to specialize in the direction of Arithmetic Geometry (MArGeo). This course will continue in the summer term 2022 as 'Algebraic Geometry II'.

If all participants agree, this course can be held in German; solutions to the exercises can be handed in in German or English.

Literature
I will provide course notes for this lecture

Recommended previous knowledge
Commutative Algebra (not absolutely necessary as many things will be revisited during the lecture)

Time/Date
Di und Do 12-14 Uhr

Location
M 101 oder virtuell

Additional question session
Time/Date: Mi 12-14 Uhr
Location: M 101

Course homepage
tba
(Disclaimer: Dieser Link wurde automatisch erzeugt und ist evtl. extern)

Registration
  • Everything will be discussed in the first lecture on Tuesday, October 19th
  • Registration for course work/examination/ECTS: FlexNow
Course work (Studienleistungen)
  • Successful participation in the exercise classes: Active participation, at least 50% successful
    solutions, presentation of at least two solutions on the blackboard in the exercise class
Examination (Prüfungsleistungen)
  • Oral exam: Duration: 30 minutes, Date: by individual appointment, re-exam: Date: by
    individual appointment
  • Combined exam in agreement with the lecturer in combination with, e.g.: Algebraic geometry II,
    oral exam: Duration: 30 minutes, Date: by individual appointment
Modules
BV, MV, MArGeo, LA-GyAlg

ECTS
9 ECTS