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Differentialgeometrie I/Differential geometry I
Bernd Ammann

Semester
WiSe 2015 / 16

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse
In der Vorlesung studieren wir semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Die wichtigsten Beispiele sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten, d.h. Mannigfaltigkeiten zusammen mit einer Riemannschen Metrik. Andere Beispiele sind Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die die Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben.

Ein wichtiger Gegenstand der Vorlesung ist die Riemannsche Krümmung, die wir genau untersuchen wollen. Wir erhalten wichtige Krümmungsgrößen, wie zum Beispiel die Schnittkrümmung, die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung. Eine interessante Frage ist zum Beispiel, ob es Mannigfaltigkeiten gibt, deren Ricci-Krümmung Null ist, aber deren Schnittkrümmung nicht verschwindet. Im Falle von Lorentz-Mannigfaltigkeiten bedeutet dies in der Terminologie der Physik: gibt es gekrümmte Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie? Auf einer drei-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist dies nicht möglich. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der 3-dimensionale Raum mit der Zeit zu einer 4-dimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit verbunden. Auf solchen Räumen gibt es Vakuum-Lösungen der Einstein-Gleichungen. Ein Beispiel hiervon ist die Schwarzschild-Metrik, die ein nicht-rotierendes schwarzes Loch beschreibt.

Verschiedene Sätze der Vorlesung geben Auskunft darüber welche Krümmungseigenschaften auf welchen Mannigfaltigkeiten möglich sind. Kompakte Mannigfaltigkeiten mit positiver Ricci-Krümmung besitzen zum Beispiel eine endliche Fundamentalgruppe. Dies führt zu vielen interessanten Beziehungen zur Tologie. Es ist deswegen hilfreich, aber nicht nötig, wenn Sie parallel hierzu die algebraische Topologie hören.

Literaturhinweise sind auf der Webseite zu finden.

Erforderliche Vorkenntnisse: Analysis I-IV, Lineare Algebra I und II. Die Vorlesung wird im Sommersemester weitergeführt.

Content / Literature / Recommended previous knowledge English
In this lecture we study Riemannian and Lorentzian manifolds. One goal is to understand the curvature of these spaces: the Riemann curvature tensor, sectional curvature, Ricci curvature and scalar curvature.

Zeit und Raum der Veranstaltung
Di 8-10, Do 10-12 in M101

Art der Veranstaltung
Vorlesung

Zeit und Raum der Übung(en)
wird auf der Webseite bekanntgegeben

Link zur Webseite (des/der Dozenten/in, der Veranstaltung)

Zielgruppen
Bachelor, Master, Lehramt Gymnasium

Prüfungsbestandteile
Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen, mündliche Prüfung im Anschluss an die Vorlesung, Details siehe www-Seite der Vorlesung

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung
Termin nach Vereinbarung, Dauer ca. 30 Minuten

Durchfhrung der zweiten Wiederholungsprüfung
Termin nach Vereinbarung, Dauer ca. 30 Minuten

Anmeldeverfahren und Termine zu den Prüfungsbestandteilen
FlexNow

Bedingungen für einen unbenoteten Leistungsnachweis
Wie bei benoteten Leistungsnachweisen

Liste der Module
BAn, BV, MV, MGAGeo, LGyGeo, BAn-2

Leistungspunkte
9