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Darstellungstheorie endlicher Gruppen
Moritz Kerz, Florian Strunk

Semester
WiSe 2015 / 16

Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse
Endliche Gruppen spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und treten zum Beispiel als Symmetriegruppen von konvexen Polytopen mit endlich vielen Ecken im R^n auf.
So ist zum Beispiel S_4 × Z/2 die Symmetriegruppe des Würfels. Durch diese Sichtweise können Aussagen über das abstrakte mathematische Objekt "Endliche Gruppe" auch ohne formale Vorkenntnisse getroffen und zum Beispiel Schülerinnen und Schülern nähergebracht werden. Anstatt die Symmetriegruppe G = S_4 × Z/2 auf den Würfel wirken zu lassen, kann man auch die Wirkung auf den gesamten Vektorraum R^3 betrachten. Dies liefert einen Gruppenhomomorphismus G-->GL(3, R). Eine solche Darstellung kann man mit Methoden der Linearen Algebra untersuchen und auf Eigenschaften der Gruppe schließen. Mit diesem Gebiet der Mathematik, der Darstellungstheorie endlicher Gruppen, beschäftigt sich das Seminar. Ein Ergebnis dieser Theorie ist ein Beweis eines Satzes von Burnside: Jede Gruppe der Ordung p^n*q^m für Primzahlen p und q ist auflösbar.

Einige Themen: Gruppenoperationen und Eigenschaften, Darstellungen als Moduln über dem Gruppenring, Eingeschränkte und Induzierte Darstellungen, Satz von Mazur-Ulam: Eine bijektive Isometrie ist affin, Lemma von Schur, Satz von Maschke, Charaktere, Orthogonalitätsrelation, eine endliche Gruppe G is abelsch genau dann, wenn alle ihre komplexen Darstellungen eindimensional sind, Satz von Burnside.

Literaturauswahl:
- tom Dieck, T. (2009). Representation Theory. Skript.
- Fulton, W., Harris, J. (1991). Representation Theory, A first course.
- Serre, J.-P. (1977). Linear Representations of Finite Groups.


Eine genaue Vortragseinteilung und Informationen dazu bekommen Sie in der Vorbesprechung zum Seminar. Zum erfolgreichen Bestehen des Seminars (benotet oder unbenotet) muss ein Vortrag gehalten und eine schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag angefertigt werden.

Zeit und Raum der Veranstaltung
Montags 16-18 Uhr in M 102

Art der Veranstaltung
Seminar

Link zur Webseite (des/der Dozenten/in, der Veranstaltung)

Zielgruppen
Bachelor, Lehramt Gymnasium

Anmeldedetails
Vorbesprechung am 13.07.15 um 10:00 Uhr (s.t.) im Raum M201.

Prüfungsbestandteile
Vortrag, schriftliche Ausarbeitung; je nach zutreffendem Modulkatalog ist entweder der Vortrag oder die schriftliche Ausarbeitung eine Studienleistung.

Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung
individuell

Durchfhrung der zweiten Wiederholungsprüfung
individuell

Anmeldeverfahren und Termine zu den Prüfungsbestandteilen
FlexNow, individuell

Anteile der Bestandteile an der Note
Je nach zutreffendem Modulkatalog basiert die Note entweder auf der schriftlichen Ausarbeitung oder auf dem Vortag.

Liste der Module
BSem, LGySem

Leistungspunkte
BSem, MSem, LGySem: siehe Modulkatalog. MV und Nebenfach: 4,5 LP bei Studienbeginn ab WS 15/16, 6 LP bei Studienbeginn vor WS15/16